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解决这个问题有两个难点:一是距离的运算关系的得出;二是运算关系的简化。

在探究中,学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值,会认为这个定值必是正值,而忽视了距离差为负值的情况,这样实质上只能得到双曲线的一支。对于这种情况,我采取启发引导,把P从一支移到另一支,然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下,学生会想到自己缺少一种情况,动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。但这个关系能不能加以简化?学生这个时候会联想到利用绝对值进行简化。这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系,也就是得到了双曲线的定义。

这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程,在此基础上,再通过教师的引导,学生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识,最终得到双曲线定义,从而培养了学生的观察能力及概括能力。另外,这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较,也为下面双曲线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。

随着双曲线定义的得出,教学进入第二阶段---知识探索

(二) 知识探索---- 定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比

1、定义的挖掘

在这一环节中,我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。

首先,我设置了这样两个问题:

(1)类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字;

(2)若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化?(片)

然后让学生带着问题进行合作探究,教师可适当引导,对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导。

虽然学生学习椭圆定义时也接触过类似问题,但双曲线较为复杂,比如 :增加了“绝对值”等等。学生要独立完成会较为困难,所以采取合作探究。这个过程既可以加深学生对定义的理解,又让可学生在相互交流中互相启发、激励、共同进步提高,从而培养学生的表达能力和协作能力。

2、 标准方程的推导

这一环节是本节课的难点,为了突破它,我设置了这样几个问题让其贯穿推导过程以将难点分解:

(1) 回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法;

(2) 类比椭圆试着推导双曲线的标准方程;

(3) 换元处理与椭圆有没有区别?

(4) 猜证双曲线焦点在 y轴上的标准方程。(片)

然后让学生独立完成推导过程。这样设置的目的是考虑到由定义求方程,就是求轨迹方程的问题,并且双曲线的标准方程推导过程与椭圆十分类似,学生有能力独立完成。但在由于化简根式时运算量较大,处理起来很可能出现一些运算错误。另外,变形时绝大多数学生会想到先移项再平方,少部分学生会直接平方。若直接平方,就会出现4次方,较为复杂。如果在实际教学中,有学生提出这种做法,我会让然后让大家参与分析讨论,看看哪种做法更为简便。以让学生认识到今后在变形前要考虑清楚不要盲目去做。整个这个推导过程,不仅提高了学生的变形能力、运算能力,而且也提高学生的分析问题和解决问题的能力。

3、 方程的对比

此时,学生接触的方程已比较多,很容易混淆,有必要加以对比。

我引导学生进行以下两组对比:(1)双曲线方程的两种形式的对比;(2)椭圆方程与双曲线方程

的对比。(片)

对比时会让学生注意方程结构的区别和联系,比如说:到底是平方差还是平方和。另外,还要注意

椭圆方程和双曲线方程都涉及到的三个量a、b、c它们的区别和联系。

对比后,学生可初步的分清四个标准方程及知道如何判断a、b 、c。

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