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可发现当x无限增大时，
逐渐减小、无限接近于0，
逐渐增大、无限接近于
，即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比
小，与斜率为
的直线无限接近，且此点永远在直线
下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线
(a>0，b>0)的图形在远处与直线
无限接近，直线
叫做双曲线
(a>0，b>0)的渐近线。我就是这样将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。
（2）证明
如何证明直线
是双曲线
(a>0，b>0)的渐近线呢？
启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（x→∞,d→0）
启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明？
启发思考③：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d
（工具是什么：点到直线的距离公式）
启发思考④：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化？分析：要证明直线
是双曲线
(a>0，b>0)的渐近线，即要证明随着x的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离
｜MQ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把问题转化为求｜MN｜。
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